A análise combinatória é uma área da matemática que estuda os diferentes arranjos e combinações de elementos de um conjunto. Uma das técnicas mais comuns utilizadas na análise combinatória é a combinação, que consiste em escolher um determinado número de elementos de um conjunto, sem levar em consideração a ordem em que são escolhidos.
As combinações são úteis em muitas áreas da matemática e em outras disciplinas, como na probabilidade, na estatística e nas ciências da computação.
Lista de questões combinação com gabarito
124. Calcule os números:
125. Obtenha todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, O}, tomados dois a dois.
126. Um conjunto A possui n elementos, sendo n ⩾ 4. Determine o número de subconjuntos de A com 4 elementos.
127. O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos. Qual é o número de elementos de A?
128. Sabendo que
129. Calcule p, sabendo que Am, p = Cm, p ∀m e 0 ⩽ p < m.
130. CaIcuIe Am, 3, sabendo que Cm, 3 = 84.
132. Determine x na equação Ax, ₃ – 6 ⋅ Cx, ₂ = O.
139. Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisível por m! Sugestão: Procure relacionar o produto dado com alguma fórmula conhecida.
140. Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
141. De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?
142. Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião?
143. Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2, 3, 5, 7 e 11?
144. Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?
145. Um salão tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes este salão poderá ser aberto?
146. Dez clubes de futebol disputaram um campeonato em dois turnos. No final, dois clubes empataram na primeira colocação, havendo mais um jogo de desempate. Quantos jogos foram disputados?
147. De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos um rei?
148. O sr. Moreira, dirigindo-se ao trabalho, vai encontrando seus amigos e levando-os juntos no seu carro. Ao todo, leva 5 amigos, dos quais apenas 3 são conhecidos entre si. Feitas as apresentações, os que não se conheciam apertam-se as mãos dois a dois. Qual é o total de apertos de mão?
149. Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João, que por sinal é o único que joga como goIeiro. Nessas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados?
150. Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores (entre eles Ari e Arnaldo). De quantas formas isso pode ser feito, se Ari e Arnaldo devem necessariamente ser escalados?
151. Um professor conta exatamente 3 piadas no seu curso anual. Ele tem por norma nunca contar num ano as mesmas 3 piadas que contou em qualquer outro ano. Qual é o número mínimo de piadas diferentes que ele pode contar em 35 anos?
152. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou carro brasileiros, qual é o número de inscrições diferentes que ela pode fazer, para uma corrida da qual irá participar com 3 carros?
153. Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 (seis) dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?
154. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
a) nenhum membro seja matemático?
b) todos os matemáticos participem da comissão?
c) haja exatamente um matemático na comissão?
d) pelo menos um membro da comissão seja matemático?
155. De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas formas isso pode ser feito, se duas pessoas (A e B) ou fazem parte da comissão, ou não?
156. Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores?
157. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
158. Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos?
159. Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par?
160. Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
161. Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas:
a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher na mesma comissão?
162. Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Extraindo-se 8 peças (sem reposição), não levando em conta sua ordem, de quantas formas podemos obter 4 peças boas e 4 defeituosas?
163. Em uma urna existem 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas?
164. Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser formados de um baralho de 52 cartas?
165. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos extrair 2 bolas, sem reposição e sem levar em conta a ordem na extração, de modo que: a) as duas sejam vermelhas? b) as duas sejam brancas? c) uma seja vermelha e a outra branca?
166. Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 sejam pretas?
167. A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?
168. Deve ser formada uma comissão constituída de 3 estatísticos e 3 economistas, escolhidos entre 7 estatísticos e 6 economistas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formadas essas comissões?
169. Em um congresso há 30 professores de Matemática e 12 de Física. Quantas comissões poderíamos organizar compostas de 3 professores de Matemática e 2 de Física?
170. Quer-se criar uma comissão constituída de um presidente e mais 3 membros. Sabendo que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 8 pessoas, quantas comissões diferentes podem ser formadas com essa estrutura?
171. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado?
172. Os ingleses têm o costume de dar alguns nomes para as crianças. Qual é o número de maneiras diferentes de chamar uma criança, se existem 300 nomes diferentes e se uma criança não pode ter mais do que 3 nomes, todos diferentes entre si, e não se leva em conta sua ordem?
173. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. De quantos modos distintos essas pessoas poderão ocupar as cadeiras?
174. Existem 7 voluntários para exercer 4 funções distintas. Qualquer um deles está habilitado para exercer qualquer uma dessas funções. Portanto, podem ser escolhidos quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. Quantas possibilidades existem para essa atribuição?
175. Existem 5 pontos, entre os quais não existem 3 colineares. Quantas retas eles determinam?
176. Quantos pIanos são determinados por quatro pontos distintos e não coplanares?
177. Quantos triângulos são determinados por n pontos distintos do plano, e não alinhados 3 a 3?
178. Há 12 pontos, A, B, C, ..., dados num plano α, sendo que 3 desses pontos nunca pertencem a uma mesma reta. Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o ponto A como um dos vértices?
179. Num plano existem 20 pontos, dos quais 3 nunca são colineares, exceto 6 que estão sobre uma mesma reta. Encontre o número de retas que esses pontos determinam.
180. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.
a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas?
b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados?
c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados?
181. Quantas diagonais tem um polígono regular de n Iados?
182. Quantas diagonais, não das faces, tem:
a) um cubo?
b) um octaedro?
183. Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro, não pertencentes à mesma face?
184. Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de n Iados? 185. No espaço existem 7 pontos, entre os quais não existem 4 pontos coplanares. Quantos pIanos eles determinam?
186. No espaço existem n pontos, entre os quais não existem 4 coplanares, com exceção de 5 que estão num mesmo plano. Quantos pIanos os n pontos determinam?
187. Num plano são dados 19 pontos, entre os quais não se encontram 3 alinhados, nem 4 situados sobre uma mesma circunferência. Fora do plano, é dado mais um ponto. Quantas superfícies esféricas existem, cada uma passando por 4 dos 20 pontos dados?
188. São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em 3 quaisquer dos 12 pontos?
189. São dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 pontos?
190. Seja P o conjunto dos pontos de p retas (p ⩾ 2), duas a duas paralelas, de um plano. Seja Q o conjunto dos pontos de q(q ⩾ 2) retas, duas a duas paralelas do mesmo plano, concorrentes com as p primeiras. Calcule o número total de paralelogramos de vértices pertencentes ao conjunto P ∩ Q e de lados contidos no conjunto P ∪ Q.
191. Com as letras a, e, i, o, b, c, d, f, g, quantas palavras (com ou sem sentido) de 6 letras distintas podem ser formadas, usando-se 3 vogais e 3 consoantes?
192. De quantas maneiras diferentes podemos colocar os 4 cavalos de um jogo de xadrez (2 brancos iguais e 2 pretos iguais) no tabuleiro do mesmo jogo (64 casas)?
193. Obtenha o número de maneiras que nove algarismos 0 e seis algarismos 1 podem ser colocados em sequência de modo que dois algarismos 1 não apareçam juntos.
194. De quantas formas podemos alinhar em sequência p sinais “+” e q sinais “–” de modo que 2 sinais “–” nunca fiquem juntos? (Observação: É dado que p + 1 ⩾ q.)
195. Considere as combinações de p elementos tomados m a m. Qual é a razão entre o número de combinações em que figura um certo elemento e o número de combinações em que esse elemento não figura?
196. Calcule o número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contêm um determinado elemento.
197. Qual é o número de combinações de n elementos p a p que contêm k elementos determinados?
👉Análise Combinatória: Princípio fundamental da contagem
👉 Análise Combinatório: Arranjos simples e arranjo com repetição
👉Analise Combinatória: Permutação simples, com repetição e circular
👉 Analise Combinatória: Combinação
Gabarito lista de exercício combinação
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124.
a) 15
b) 15
c) 1
125.{7, 8}, {7, 9}, {7, 0}, {8, 9}, {8, 0}, {9, 0}
127.10
128.p = 1
129.p = 0 ou p = 1
130.504
131.n = 8
132.x = 5
133.n = 4
134.m = 7
135.f(a) = 109
136.m = 9
137.p = 5
138.S = {(13, 2)}
139.Demonstração
141.C52, 4 = 270725
142.10
143.C5, 3 = 10
144.848
145.1023
146.91
148.C5, 2 – C3, 2 = 7
149.C9, 4 = 126
150.C8, 3 = 56
151.n = 7
152.15
153.140
155.112
156.3136 comissões
157.55
159.112
161.a) 165 comissões b) 60 comissões
164.4512 subconjuntos
165.a) 3 possibilidades b) 10 possibilidades c) 15 possibilidades 166.2080 modos
167.140 possibilidades
168.700 comissões
169.267960
170.280 comissões
171.630
173.1680
174.840
175.10 retas
176.C4, 3 = 4
177.Cn, 3 = n! 3! (n – 3)!
178. 11 2 = 55
179.176 retas
180.a) 28 cordas b) 56 triângulos c) 28 hexágonos 1
82.a) 4 b) 3 1
83.100
184.n(n – 3)
