Permutações são um tipo de análise combinatória que se refere ao número de maneiras distintas que um conjunto pode ser ordenado. Em outras palavras, permutações são arranjos onde a ordem é importante.
O tema permutação se divide em permutação simples, permutação com repetição e permutação circular.
Permutação simples
- A permutação simples é um tipo de agrupamento estudado na análise combinatória.
- Representamos a permutação de n elementos por Pn.
- Para calcular a permutação simples de n elementos, utilizamos a fórmula Pn = n!.
O que é uma permutação simples?
Exemplo 1: Exemplo: Seja M = {a, b, c}. As permutações dos elementos de M são todos os arranjos constituídos de 3 elementos.
São eles: (a, b, c) (b, a, c) (c, a, b) (a, c, b) (b, c, a) (c, b, a)
Fórmula do número de permutações simples
Exemplo 2: De quantas formas podem 5 pessoas ficar em fila indiana?
Notemos que cada forma de ficar em fila indiana é uma permutação das 5 pessoas. 0 número de permutações (modos de ficar em fila indiana) será:
P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
Exemplo 3: Heitor está brincando com os seus carrinhos, os enfileirando de maneiras distintas. Sabendo que ele está brincando com 4 carrinhos, de quantas maneiras distintas ele pode enfileirá-los?
a) 4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 120
Solução
Temos uma permutação simples de 4 elementos:
P4=4!
P4=4⋅3⋅2⋅1
P4=24
Logo, há 24 maneiras distintas de enfileirar os carrinhos.
Letra D
Exemplo 4: Durante a expedição de uma empresa de peças automotivas, um entregador fará a entrega de 5 encomendas. Para uma delas, o cliente pediu urgência, e a empresa resolveu atender a esse pedido. Já as demais serão feitas todas em pontos diferentes da cidade. Logo, o entregador tem liberdade para fazer a rota de entrega dos demais pedidos. Diante disso, de quantas maneiras distintas essa entrega pode ser feita?
A) 16
B) 24
C) 25
D) 120
E) 720
Solução:
O entregador tomará a decisão das outras 4 entregas, já que a primeira será a do cliente que pediu urgência.
Nesse caso, basta calcular a permutação de 4 elementos:
P4=4!
P4=4⋅3⋅2⋅1
P4=24
Letra C
Permutação com repetição
Uma permutação com elementos repetidos ocorre quando um conjunto de n elementos contém alguns elementos idênticos. Para calcular o número de permutações com repetição, usamos uma fórmula que envolve o fatorial do número total n de elementos dividido pelo produto dos fatoriais dos elementos que se repetem.
Fórmula do número de permutações com repetição
Exemplo 1: Quais são os números de 4 algarismos que podemos formar utilizando {1, 1, 5, 6}?
Solução: Note que temos uma repetição entre os elementos que vão compor o número. O algarismo 1 aparece duas vezes, então vamos listar os números possíveis:
1156, 1165, 1561, 1651, 5611, 6511, 5116, 6115, 5161, 6151, 1615, 1516
Há 12 números possíveis.
Exemplo 2: Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra MATEMÁTICA?
Solução: Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, primeiramente contaremos quantas letras a palavra tem. No caso, n = 10.
• A letra M repete 2 vezes.
• A letra A repete 3 vezes.
• A letra T repete 2 vezes.
Assim, a quantidade de anagramas possíveis pode ser calculada por:
Exemplo 3: O banco de Kárita pede para que ela crie uma senha formada só por números, com 6 algarismos. Para construir essa senha de forma que ela não esqueça, Kárita usará somente os algarismos existentes na data de nascimento do seu filho, sendo que ele nasceu no dia 24/08/20. Nessas condições, o número de senhas distintas que ela pode formar usando os 6 algarismos contidos na data de nascimento do seu filho é:
A) 120
B) 180
C) 360
D) 450
E) 720
Solução: Para calcular o número de senhas possíveis, calcularemos a permutação com repetição, pois há algarismos que se repetem. Os algarismos são {2, 4, 0, 8, 0, 2}, então temos que n = 6. Além disso, o algarismo 0 se repete 2 vezes, e o algarismo 2 se repete 2 vezes, então, substituindo na fórmula da permutação com repetição, temos que:
Permutação Circular
Fórmula da Permutação Circular
Exemplo 1: Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa?
PC6 = (6−1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Exemplo 2: De quantos modos 5 meninas e 5 meninos podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?
Resposta: Existe uma permutação circular com as 5 meninas, isto é, (P C)5 = 4! modos de formar uma roda com as meninas. Depois disso, os 5 meninos devem ser postos nos lugares entre as meninas, o que pode ser feito de 5! modos. A resposta é 4!×5! = 2880.
Exemplo 3: De quantos modos 4 casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado da sua mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?
Resposta: Existe uma permutação circular com os 4 homens, isto é, (P C)4 = 3! modos de formar uma roda como os 4 homens. Depois disso, há dois modos de pôr as esposas na roda: à direita ou à esquerda de seus maridos. A resposta é 2.3! = 12.
Exemplo 4: De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?
Resposta: Podemos formar uma roda com os homens de (P C)6 = 5! modos. Depois, devemos escolher um dos 6 espaços entre os homens (o que pode ser feito de 6 modos) para aí colocarmos todas as mulheres. Finalmente, devemos decidir em que ordem as 5 mulheres se colocarão nesse espaço (5! modos). A resposta é 5!6.5! = 5!6! == 86400.
Essas pessoas podem sentar de 120 maneiras diferentes envolta da mesa.
Saiba mais...
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👉Analise Combinatória: Permutação simples, com repetição e circular