Arranjos
Os arranjos são uma combinação ordenada de elementos distintos, ou seja, a ordem dos elementos importa. Em um arranjo simples, é possível determinar o número de arranjos possíveis a partir de uma dada quantidade de elementos e um número específico de elementos escolhidos.
Arranjos com repetição
Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1
, a2
, ..., am
}. Chamamos
arranjo com repetição dos m elementos, tomados r a r, toda r-upla ordenada (sequência
de tamanho r) formada com elementos de M não necessariamente distintos.
Exemplo:
Uma urna contém uma bola vermelha (V), uma branca (B) e uma azul (A). Uma
bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Em seguida outra bola é extraída e
observada sua cor. Quantas são as possíveis sequências de cores observadas?
Temos: Cada sequência é um par ordenado de cores (x, y) em que x, y ∈ M = {V, B, A}. Logo, pelo princípio fundamental da contagem (parte A), o número de pares é: 3 ⋅ 3 = 9
Fórmula do número de arranjos com repetição
Arranjos
Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1
, a2
, ..., am
}. Chamamos de
arranjo dos m elementos tomados r a r (1 ⩽ r ⩽ m) a qualquer r-upla (sequência de r
elementos) formada com elementos de M, todos distintos.
Exemplo:
M = {a, b, c, d}
Os arranjos dos quatro elementos de M, tomados dois a dois, são os pares
ordenados (x, y) formados com elementos distintos de M.
Temos, pelo princípio fundamental da contagem (parte B), o número de pares
ordenados é:
4 ⋅ 3 = 12
Fórmula do número de arranjos
Exemplo: De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas é possível obter?
Solução: Notemos que cada resultado é uma tripla ordenada de cartas (x, y, z), em que x é
a 1ª carta extraída, y a 2ª e z a 3ª. Observemos que x, y, z são todas distintas, visto que
a extração é feita sem reposição.
Logo, o número que queremos é A52,3, isto é:
Solução: Basta que usemos um arranjo simples de 10 pessoas tomadas 2 a 2, que representa o número de possibilidades de escolher duas pessoas distintas dentre as 10 para premiar, onde a ordem delas importa (um é o campeão e o outro o vice).
Substituindo os valores na fórmula acima, temos que o total de possibilidades é de 90.
Exemplo: Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {L, M, N, O, P, Q} começam com duas letras escolhidas no subconjunto {O, P, Q}?
Solução: Neste caso, as duas primeiras letras tem uma condição especial, por isso, vamos separar a questão em duas partes: selecionar as duas primeiras letras e selecionar as duas últimas.
A escolha das duas primeiras letras é um arranjo das letras {O, P, Q} com 2 elementos. Logo, é um arranjo de 3 elementos 2 a 2.
Enquanto escolha das duas últimas letras é um arranjo das letras {L, M, N, O, P, Q} tirando as duas que já foram escolhidas. Logo, é um arranjo de 4 elementos 2 a 2.
Pelo princípio multiplicativo, a resposta é a multiplicação dos dois arranjos.
Exemplos: Numa loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantos formações de códigos de produtos são possíveis?
Solução: Note que, nesses códigos, não importa se as letras se repetem. Portanto, para cada letra integrante temos 20 possibilidades.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, basta que se multipliquem as possibilidades, totalizando
20⁴
20 × 20 × 20 × 20 × 20 = 20⁴
Usando a fórmula, com n=20 e p=4, encontramos o mesmo resultado de antes.
Resumo das Formulas
Arranjo Simples
Arranjo com Repetição
Saiba mais...
👉Lista de Exercícios: Arranjos
👉Análise Combinatória: Princípio fundamental da contagem
👉 Análise Combinatório: Arranjos simples e arranjo com repetição
👉Analise Combinatória: Permutação simples, com repetição e circular
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Análise Combinatória