Introdução às Derivadas
As derivadas são uma das ferramentas mais poderosas do cálculo, permitindo analisar taxas de variação, inclinações de curvas e tendências de funções. Neste artigo, vamos abordar os conceitos fundamentais para quem está começando seus estudos.
1) Equação da Reta
O estudo das derivadas começa com a compreensão da equação da reta. A equação da reta descreve a relação entre duas variáveis em um plano cartesiano. Para uma reta com coeficiente angular \(m\) que passa pelo ponto \(P(x_0,y_0)\), temos:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
O coeficiente \(m\) indica a inclinação da reta, conceito que será essencial para entender as derivadas.
2) Reta Tangente e Reta Secante
A reta tangente a uma curva em um ponto toca a curva sem cortá-la, representando a inclinação instantânea nesse ponto. Já a reta secante corta a curva em dois pontos distintos, representando a inclinação média entre eles:
- Reta secante: passa por dois pontos distintos da curva.
- Reta tangente: é o limite da secante quando os dois pontos se aproximam.
\(m_{\text{sec}} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\)
À medida que \(x_2\) se aproxima de \(x_1\), obtemos a inclinação da reta tangente, diretamente ligada à derivada.
3) Inclinação da Reta Tangente
A inclinação da reta tangente é dada pela taxa de variação instantânea da função no ponto analisado. Em termos matemáticos, para uma função \(f(x)\), temos:
\(m = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\)
Este limite é a base para definir a derivada, representando a inclinação exata da curva no ponto \(x_0\).
4) Definição de Derivada
A definição formal da derivada de uma função \(f(x)\) em um ponto \(x_0\) é dada por:
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\)
Quando esse limite existe, a função é derivável em \(x_0\), e a reta tangente pode ser escrita como:
\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)
Esse conceito conecta diretamente as derivadas com o estudo de retas e inclinações.
5) Regras de Derivação
As regras de derivação permitem calcular derivadas de forma rápida e prática, sem precisar recorrer sempre à definição de limite. As principais são:
- Derivada da constante: \((c)' = 0\).
- Derivada da potência: \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\).
- Múltiplo constante: \((k \cdot f)' = k \cdot f'\).
- Soma/diferença: \((f \pm g)' = f' \pm g'\).
Essas regras são fundamentais para simplificar o cálculo de derivadas em funções mais complexas.
Próximos passos
Agora que você já conhece os conceitos básicos, veja os conteúdos complementares para aprofundar seu aprendizado:
- Equação da Reta
- Reta Tangente e Secante
- Inclinação da Reta Tangente
- Definição de Derivada
- Regras de Derivação
Lista de Exercícios — Introdução às Derivadas
Resolva os exercícios e clique em Mostrar solução para conferir o passo a passo. Para revisar conceitos, veja os artigos: Equação da Reta, Reta Tangente e Secante, Inclinação da Reta Tangente, Definição de Derivada e Regras de Derivação.
1) Equação da Reta
Exercício 1. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos \(A(1,2)\) e \(B(3,6)\).
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Coeficiente angular: \(m = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = 2\).
Equação: \(y - 2 = 2(x - 1)\).
Resposta: \(y = 2x\).
Exercício 2. Determine a equação da reta com inclinação \(m=3\) passando pelo ponto \(P(2,5)\).
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Fórmula: \(y - y_0 = m(x - x_0)\).
\(y - 5 = 3(x - 2)\).
Resposta: \(y = 3x - 1\).
2) Reta Tangente e Secante
Exercício 1. Para a função \(f(x)=x^2\), encontre a equação da reta secante que passa pelos pontos \(x=1\) e \(x=3\).
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Pontos: \((1,1)\) e \((3,9)\).
\(m = \dfrac{9-1}{3-1} = 4\).
Equação: \(y - 1 = 4(x - 1)\).
Resposta: \(y = 4x - 3\).
Exercício 2. Encontre a inclinação da reta tangente a \(f(x)=x^2\) no ponto \(x=2\).
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\(f'(x)=2x\).
\(m = f'(2)=4\).
Exercício 3. Determine a equação da reta tangente a \(f(x)=\sqrt{x}\) no ponto \((4,2)\).
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\(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
\(m = \dfrac{1}{2\cdot2}=\dfrac14\).
Equação: \(y - 2 = \dfrac14(x - 4)\).
Resposta: \(y = \dfrac14x + 1\).
3) Inclinação da Reta Tangente
Exercício 1. Para \(f(x)=x^3\), calcule a inclinação da reta tangente no ponto \(x=2\).
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\(f'(x)=3x^2\).
\(m=f'(2)=12\).
Exercício 2. Determine a inclinação da reta tangente a \(f(x)=\dfrac1x\) em \(x=1\).
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\(f'(x)=-\dfrac1{x^2}\).
\(m=f'(1)=-1\).
Exercício 3. Para \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), calcule a inclinação da reta tangente no ponto \(x=8\).
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\(f'(x)=\dfrac1{3\sqrt[3]{x^2}}\).
\(m=\dfrac1{3\sqrt[3]{64}}\)=\(\dfrac1{12}\).
4) Definição de Derivada
Exercício 1. Use a definição para encontrar \(f'(x)\) de \(f(x)=x^2\).
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\(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\)
\(=\lim_{h\to0}\dfrac{2xh+h^2}{h}\)
=\(\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\).
Exercício 2. Use a definição para \(f(x)=\dfrac1x\).
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\(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\dfrac1{x+h}-\dfrac1x}{h}\)
=\(\lim_{h\to0}\dfrac{x-(x+h)}{h\,x(x+h)}\)
=\(\lim_{h\to0}\dfrac{-h}{h\,x(x+h)}=-\dfrac1{x^2}\).
Exercício 3. Use a definição para \(f(x)=\sqrt{x}\).
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\(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
=\(\lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)=\(\dfrac1{2\sqrt{x}}\).
Exercício 4. Use a definição para \(f(x)=x^3\).
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\(f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}\)
=\(\lim_{h\to0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\)
=\(\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\).
5) Regras de Derivação
Exercício 1. Derive \(f(x)=3x^4+5x^2\).
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Exercício 2. Calcule \(f'(x)=\dfrac5x + 2x^3\).
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Exercício 3. Encontre \(f'(x)=\sqrt{x}+7\).
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Exercício 4. Derive \(f(x)=x^5-3x^3+x-8\).