Matriz: representação, elementos, cálculo, tipos, exercícios

Sejam m e n números naturais não nulos.

Uma tabela de m x n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais) é uma matriz do tipo (ou formato) m x n, ou simplesmente matriz m x n.

Representamos usualmente uma matriz colocando seus elementos (números reais) entre parênteses ou entre colchetes. 

Vejamos alguns exemplos:

 Representação de uma matriz

Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz pode ser representado pelo símbolo aij, no qual o índice i refere-se à linha e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento. 

Vamos convencionar que as linhas são numeradas de cima para baixo, e as colunas, da esquerda para a direita.

De modo geral, uma matriz A do tipo m x n é representada por

em que i e j são números inteiros positivos tais que

e aij é um elemento qualquer de A. Acompanhe o exemplo a seguir. 

Matrizes especiais

Vejamos alguns tipos de matrizes especiais. 

• Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha.

• A = (0, 2, 4) é uma matriz linha 1 3 3.
• B = (0, 2, 3) é uma matriz linha 1 3 2. 

• Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 

• Matriz nula: é uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Pode-se indicar a matriz nula m x n por 0m x n .

• Matriz quadrada: é uma matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. 

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Temos que: os elementos de A cujo índice da linha é igual ao índice da coluna constituem a diagonal principal de A. 

• Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, os elementos a11, a22 e a33 formam a diagonal principal de A:

• Os elementos da matriz A cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a n + 1 constituem a diagonal secundária de A.

Retomando o exemplo anterior, os elementos a13, a22 e a31 formam a diagonal secundária de A

Matriz transposta

Dada uma matriz

 chama-se transposta de A (indica-se por At ) a matriz

tal que a'ji = aij para todo i e todo j.

Em outras palavras, a matriz At é obtida a partir de A trocando-se, ordenadamente, suas linhas pelas colunas.

Para a matriz A, observe que:

• A transposta de

• A transposta de

 Igualdade de matrizes

Duas matrizes A e B de mesmo tipo m x n são iguais se todos os seus elementos correspondentes são iguais, isto é, sendo

temos que A = B se aij = bij, para todo i = (1, 2, …, m) e para todo j = (1, 2, …, n).

Por exemplo, para que as matrizes

sejam iguais, devemos ter:

Adição de matrizes

As tabelas abaixo representam o número de unidades vendidas, em uma concessionária, de dois veículos 0 km, modelos A e B, de acordo com o tipo de combustível, durante os dois primeiros meses de determinado ano:

De que maneira podemos determinar as vendas de cada tipo de veículo no primeiro bimestre desse ano? Intuitivamente, sabemos que é preciso somar os elementos correspondentes das tabelas anteriores. Usando matrizes, temos:

Assim, por exemplo, 4 016 é o número total de veículos do modelo A, a gasolina, vendidos no primeiro bimestre. 

Dadas duas matrizes do mesmo tipo,

a soma de A com B (representa-se por A + B) é a matriz

em que

para

Em outras palavras, a matriz soma C é do mesmo tipo que A e B e é tal que cada um de seus elementos é a soma de elementos correspondentes de A e B.

 

Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n) e 0m x n a matriz nula, do tipo m x n, valem as seguintes propriedades para a adição de matrizes:

Observe que, nesse caso, M é a matriz nula do tipo m x n. 

Matriz oposta

Subtração de matrizes