Retas
As ideias e os conceitos da Geometria relacionados a retas e ângulos estão entre os conhecimentos matemáticos mais antigos da humanidade, como indicam algumas tabLtas de argila dos sumérios, alguns papiros egípcios e documentos escritos de gregos e romanos.
Retas e ângulos também aparecem nas artes plásticas, seja em pinturas antigas, seja em obras contemporâneas, como as dos grandes mestres abstracionistas. A obra do artista Theo van Doesburg (1883-1931), reproduzida abaixo, é um exemplo de aplicação desses conceitos nas artes plásticas.
Como vimos em artigos anteriores, reta é um conceito primitivo, isto é, um conceito que não se define.
A preocupação em organizar todo o conhecimento geométrico acumulado começou com os gregos. Eles transformaram a Geometria que resolvia cada caso particular em uma Geometria que tratava das propriedades das figuras de maneira generalizada.
Posição de retas
1 – Concorrentes
As retas r e s têm um só ponto em comum (A) e estão em um mesmo plano (β).
Dizemos que as retas r e s são concorrentes. Indicamos: r x s.
Caso particular de retas concorrentes: Duas retas concorrentes que formam, entre si, quatro ângulos retos (90°) são chamadas
retas perpendiculares. Indicamos: r ⊥ s.
2 – Paralelas
As retas r e t não têm pontos em comum e estão em um mesmo plano (g ). Dizemos que as retas r e t são paralelas. Indicamos: r ⁄⁄ t.
Para que duas retas sejam paralelas ou concorrentes, elas devem, necessariamente, estar em um mesmo plano, isto é, deve existir um plano
que as contenha. Nesse caso, dizemos que elas são retas coplanares.
Dadas duas retas, s e t, caso não exista um plano que as contenha, chamamos s e t de retas reversas.
Duas retas de um plano são coincidentes quando têm todos os pontos em comum. Indicamos que as retas c e d são coincidentes por: c ≡ d
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Escreva a posição relativa das retas coplanares r e s quando:
a) elas não têm ponto em comum; – paralelas
b) elas têm apenas um ponto em comum. – concorrentes
2 – Identifique qual é a sentença falsa e justifique em seu caderno.
a) Se A e B são dois pontos de um plano a, então a reta AB está contida nesse plano. – verdadeira
b) Se duas retas, r e s, não têm ponto em comum, então elas são paralelas. – falso, pois r e s podem ser reversas.
c) Se duas retas são coplanares e não têm ponto em comum, então elas são paralelas. – verdadeira
3 – Considere o bloco retangular abaixo.
Identifique como paralelas, concorrentes ou reversas as retas que contêm os pares de arestas:
a) AB e BC concorrentes
b) CD e HG paralelas
c) AB e CG reversas
d) BF e AE paralelas
e) AD e BF reversas
f) HG e AB paralelas
Ângulos
O ângulo é uma figura que você já conhece e com a qual tem trabalhado em muitas situações. Vamos retomar algumas características dos ângulos, começando por sua definição.
Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.
Na figura ao lado, o ponto O é o vértice do ângulo, e as semirretas OA e OB são os lados.
Indicamos esse ângulo por AOB (lemos: ângulo AOB).
O arco marcado na figura indica a abertura do ângulo que estamos considerando.
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
Nas figuras abaixo, a semirreta OC divide o ângulo AOB em dois ângulos congruentes, ou seja, em dois ângulos de mesma medida. Logo, OC é bissetriz do ângulo AOB em cada caso.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 – Considerando que AOB e MPQ são ângulos congruentes, calcule o valor de x.
2 – Na figura abaixo, temos m(AOC) 5 45° e COD r DOE.
Determine:
a) o valor de x ;
b) a medida de AOD;
c) a medida de DOE.
3 – Nas figuras abaixo, OM é bissetriz de AOB.
Determine:
a) m(MOB), sabendo que m(AOB) = 60°.
Resposta: 30°
b) m(AOB), sabendo que m(AOM) = 40°.
Resposta: 80°
4 – Nesta figura, m(AOB) 5 30° e m(BOC) 570°, OM é bissetriz de AOB e ON é bissetriz de BOC.
Calcule:
a) m(AOC):
b) m(AOM):
c) m(NOC):
d) m(MON):
5 – Sendo x a medida de um ângulo, observe a figura em que OA e OF são semirretas opostas.
a) Qual é o ângulo congruente a AOB? E a AOC?
b) Qual é o ângulo congruente a BOD? E a COE?
c) Qual é o valor de x ?
d) OB é bissetriz de algum dos ângulos destacados? De qual? E OC ? E OD ? E OE ?
