Considere duas retas coplanares, r e s, cortadas por uma terceira reta t, chamada de transversal. Essas retas determinam oito ângulos.
Na figura ao lado, temos:
- os ângulos cujas indicações estão na faixa azul, entre as retas r e s, são chamados de internos; assim, são internos os ângulos b, c, m e q, de medidas b, c, m e q;
- os ângulos cujas indicações estão na região amarela são chamados de externos; assim, são externos os ângulos a, d, n e p, de medidas a, d, n e p.
Esses oito ângulos, combinados dois a dois, recebem nomes especiais, como veremos a seguir.
Ângulos correspondentes
Dois ângulos são correspondentes quando um é interno e o outro é externo, não têm o
mesmo vértice e estão situados em um mesmo lado em relação à transversal. Os ângulos
destacados nas figuras a seguir são correspondentes.
Se uma transversal corta duas retas formando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas.
O inverso também é verdadeiro:
Se duas retas são paralelas, então os ângulos correspondentes formados com
uma transversal são congruentes.
Essa propriedade permite descobrir medidas de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal conhecendo-se a medida de apenas um dos ângulos.
Acompanhe um exemplo.
Considerando a figura abaixo, em que r ⁄⁄ s, vamos descobrir o valor de x para calcular a medida dos ângulos assinalados.
Os ângulos destacados são congruentes, pois
são ângulos correspondentes formados por duas
retas paralelas e uma transversal.
Logo, devemos escrever a igualdade:
Substituindo x por 22° nas expressões 2x 1 6° e 3x 2 16°, obtemos a medida dos ângulos assinalados, que devem ser iguais.
2x + 6 = 2*22 + 6 44 + 6 = 50
3x - 16 = 3*22 - 16 = 66 - 16 = 50
Portanto, os ângulos assinalados na figura anterior medem 50°.
Exercícios
Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos
Vamos considerar duas retas coplanares, r e s, e uma transversal, t.
Dois ângulos são alternos internos quando são internos, não têm o mesmo vértice e estão
situados em lados opostos em relação à transversal. Os ângulos destacados nas figuras são
alternos internos.
Dois ângulos são alternos externos quando são externos, não têm o mesmo vértice e estão situados em lados opostos em relação à transversal. Os ângulos destacados a seguir são alternos externos.
Os ângulos de medidas a e b são alternos internos.
Então, temos:
- a = c, pois são medidas de ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e s com a transversal t;
- c = b, pois são medidas de ângulos opostos pelo vértice.
- Logo, a = b, pois ambas as medidas são iguais a c. Isso significa que
Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos internos formados com
uma transversal são congruentes.
Essa propriedade também é válida para os ângulos alternos externos:
Se duas retas são paralelas, então os ângulos alternos externos formados com
uma transversal são congruentes.
Conforme vimos na página anterior, também podemos descobrir as medidas de ângulos
formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal conhecendo-se a medida de
apenas um dos ângulos.
Acompanhe o exemplo a seguir.
Na figura ao lado, r ⁄⁄ s e t é transversal. Vamos
calcular os valores de x, y e z.
O ângulo de medida 60° e o ângulo de medida x são
alternos externos, formados por duas retas paralelas
cortadas por uma transversal. Então, x = 60°.
Como x + z = 180°, pois x e z são medidas de ângulos suplementares, temos:
60°+ z =180°
z = 120°
Portanto, x = 60°, y = 60° e z = 120°.
Exercício
