Lista de exercício princípio fundamental da contagem
1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
2. Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?
3. Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentemente da posição do assento. Combinando assento e encosto, quantas posições diferentes esse banco pode assumir?
4. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
5. Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
6. Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?
7. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?
8. Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões “standard”, “luxo” e “superluxo”, quantas são as alternativas do comprador?
9. De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
10. Uma prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 testes?
11. Uma loteria (semelhante à loteria esportiva) apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação 210 ≅ 103 , qual é o número total de resultados possíveis?
12. Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits?
13. Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?
14. De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes?
15. De um grupo de 5 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar?
16. Quantos anagramas podemos formar, digitando ao acaso em 6 tecIas (escolhidas entre as 26 existentes) num teclado? Entre eles consta o anagrama TECTEC?
17. Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?
18. Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8?
19. Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome, com esses elementos?
20. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual é o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa?
21. Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?
22. O sistema telefônico de São Paulo utiliza oito (8) dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?
23. As letras em código morse são formadas por sequências de traços (–) e pontos ( ⋅ ), sendo permitidas repetições. Por exemplo: (–; ⋅; –; –; ⋅; ⋅). Quantas letras podem ser representadas:
a) usando exatamente 3 símbolos?
b) usando no máximo 8 símbolos?
24. Quantos números telefônicos com 7 dígitos podem ser formados, se usarmos os dígitos de 0 a 9?
25. Existem apenas dois modos de atingir uma cidade X partindo de uma outra A. Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir X; o outro é ir até C e de lá chegar a X. (Veja esquema.) Existem 10 estradas ligando A e B; 12 ligando B a X; 5 ligando A a C; 8 ligando C a X; nenhuma ligação direta entre B e C e nenhuma ligação direta entre A e X. Qual o número de percursos diferentes que podem ser feitos para, partindo de A, atingir X pela primeira vez?
27. Caminhando sempre para a direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras um homem pode ir do ponto A até a reta BC?
28. Resolva o problema anterior, se o homem der exatamente 6 passos, o ponto B tenha coordenadas (0, 6) e C tenha coordenadas (6, 0). Dê o gráfico de 3 trajetórias possíveis.
29. Quantos divisores positivos tem o número 3888 = 24 ⋅ 35?
30. Quantos divisores positivos tem o número N = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d?
31. Cada pedra de dominó é constituída de 2 números. As peças são simétricas, de sorte que o par de números não é ordenado. Exemplo:
Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
32. Quantas peças diferentes podem ser formadas num jogo de dominó se usarmos os números 0, 1, 2, 3, ..., n?
33. A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções f: A → B existem?
34. Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis:
a) se a escolha for feita com reposição?
b) se a escolha for feita sem reposição?
35. Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo no qual em cada partida há um único vencedor. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores? (Sugestão: Construa o diagrama de árvore.)
36. Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1, 2, 3, ..., 10. Três bolinhas são extraídas sucessivamente, sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma P.A. na ordem em que foram extraídas? (Sugestão: Construa o diagrama de árvore.)
37. Uma moto tem combustível suficiente para somente três voltas num circuito. Pedro, Manoel e Antônio disputam, por meio do lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, do seguinte modo:
I. o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta;
II. se coroa, a vez é de Manoel;
III. se cara, a vez é de Pedro;
IV. se a mesma face ocorrer consecutivamente, a vez é de Antônio.
Se a primeira volta for dada por Pedro, quantas voltas poderá dar Antônio?
38. Suponha que no início de um jogo você tenha R$ 2 000,00 e que só possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha R$ 1000,00, quais são os possíveis resultados ao final de três jogadas?
39. Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada, ele ganha ou perde R$ 1 000,00. Começará com R$ 1 000,00 e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar R$ 3000, 00, isto é, se tiver R$ 4000,00. De quantas maneiras o jogo poderá se desenrolar?
40. Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças, um segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dança com todas as moças. Qual é a relação entre m e r?
Respostas dos exercícios
1. 40 refeições
2. 30 formas possíveis
3. 30 posições
4. 7200
5. 56 possibilidades
6. 132 possibilidades
7. 600 formas de se vestir
8. 42 alternativas de compra
10. 1048576 formas
11. Aproximadamente 1000000.
12. 4294967296 palavras
13. 1023 possibilidades
14. 63 possibilidades
15. 31 possibilidades
16. 308915776 anagramas. Sim.
17. 243 votos possíveis
18. 125 números
19. 200
20. 10
21. 46656 resultados possíveis
22. 8100000
23. a) 8 letras b) 510 letras
25. 160 percursos diferentes
27. 256 caminhos
28. 64 maneiras
30. (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1)
31. 28 peças
33. r^n funções
35. {AA, ABB, ABAA, ABAB, BB, BAA, BABB, BABA}
36. 40 formas
37. No máximo duas voltas.
38. R$ 1OOO,OO; R$ 3000,00 ou R$ 5000,00
39. 11 possibilidades de jogo
40. m = r + 4