A fatoração é um método matemático que consiste em representar um número ou uma expressão como um produto de fatores.
Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, muitas vezes podemos simplificar a expressão.
Aqui estão os tipos de fatoração de polinômios:
Fatoração por Fator Comum em Evidência
Utilizamos essa técnica de fatoração quando há um fator que se repete em todos os termos do polinômio.
Esse fator, que pode incluir números e letras, é colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses, fica o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
Na prática, os seguintes passos são realizados:
1º) Identificar se há algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e se há letras que se repetem em todos os termos.
2º) Colocar o fator comum (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usa-se a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplo 01: Fatoração do Polinômio 12x + 6y - 9z
Para fatorar o polinômio 12x + 6y - 9z, primeiro identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não há nenhuma letra que se repete.
Em seguida, colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e colocamos o resultado dentro dos parênteses:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
Exemplo 02: Fatoração do Polinômio 2a²b + 3a⁴c - a⁵
Como não há um número que divida simultaneamente 2, 3 e 1, não colocaremos nenhum número na frente dos parênteses.
A letra "a" se repete em todos os termos. O fator comum será a, que é o menor expoente de "a" na expressão.
Dividimos cada termo do polinômio por a2:
2a²b ÷ a² = 2b
3a⁴c ÷ a² = 3a²c
a⁵ ÷ a² = a³
Colocamos a² na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:
2a²b + 3a⁴c - a⁵ = a² (2b + 3a²c - a³)
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Exercício fator comum em evidência
1) Fatore as expressões:
a) 4x + 4y =
b) 7a – 7b =
c) 5x – 5 =
d) ax – ay =
e) y² + 6y =
f) 6x² - 4a =
g) 4x⁶ - 7x² =
h) m - m³ =
i) a³ + a⁶ =
j) x² + 13x =
k) 5m³ - m² =
k) 15x³ - 21x² =
o) 14x² + 42x =
p) x²y + xy² =
2) Fatore as expressões:
a) 2a – 2m + 2n =
b) 5a + 20x + 10 =
c) 4 – 8x – 16y =
d) 55m + 33n =
e) 35ax – 42ay =
f) 7am – 7ax -7an =
g) 5a²x – 5a²m – 10a² =
h) 2ax + 2ay – 2axy =
3) Fatore as expressões:
a) 15x³ - 3ax =
c) a⁶ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x´ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m +n)=
Gabarito dos exercícios propostos
Fatoração por Agrupamento
Quando não há um fator que se repete em todos os termos do polinômio, podemos utilizar a técnica de fatoração por agrupamento.
Para isso, é necessário identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Nessa técnica de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny
Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.
Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Exemplo 02
4x² + 8x + 6xy + 12y
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y (12 = 6*2)
4x(x + 2) + 6y(x + 2)
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum.
(4x + 6y) (x + 2)
Fatoração por Agrupamento Exercícios
1) Fatore as expressões:
Gabarito dos exercícios propostos
Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio é um polinômio com três termos. Dizemos que um trinômio é um quadrado perfeito quando ele pode ser escrito na forma de
(a + b)² ou (a - b)².
Para verificar se um trinômio é um quadrado perfeito, podemos utilizar a seguinte regra:
Verificar se o primeiro e o último termo do trinômio são quadrados perfeitos. Se sim, então o trinômio pode ser um quadrado perfeito.
Verificar se o coeficiente do termo do meio é duas vezes o produto das raízes quadradas dos termos do primeiro e do último termo do trinômio. Se sim, então o trinômio pode ser um quadrado perfeito.
Exemplo 01:
O trinômio x² + 6x + 9 é um quadrado perfeito, pois pode ser escrito na forma de (x + 3)².
Os termos do primeiro e último termo são quadrados perfeitos (x² = (x)² e 9 = 3²) e o coeficiente do termo do meio é 2 vezes o produto do primeiro e do segundo (2 * x * 3 = 6).
logo, (x + 3)² = x² + 6x + 9
Exemplo 02
O trinômio 4x² + 12x + 9 é um quadrado perfeito, pois pode ser escrito na forma de (2x + 3)².
Os termos do primeiro e último termo são quadrados perfeitos (4x² = (2x)² e 9 = 3²) e o coeficiente do termo do meio é 2 vezes o produto do primeiro e do segundo (2 * 2x * 3 = 12x).
Logo, (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
Exercício trinômio quadrado perfeito
1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4
b) x² - 4x + 4
c) a²+ 2a + 1
d) a² - 2a + 1
e) x²- 8x + 16
f) a² + 6a + 9
g) a² - 6a + 9
h) 1 – 6a + 9a²
2) Fatore as expressões:
a) m² -12m + 36
b) a² + 14a + 49
c) 4 + 12x + 9x²
d) 9a² - 12a + 4
e) 9x² - 6xy + y²
f) x² + 20x + 100
g) a² - 12ab + 36b²
h) 9 + 24a + 16a²
i) 64a² - 80a + 25
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y´ - 2y³ + 1
Gabarito dos exercícios propostos
Diferença de Dois Quadrados
A diferença de dois quadrados é uma fatoração que ocorre quando temos a diferença entre dois termos quadrados. Ou seja, se tivermos a expressão a² - b², podemos fatorá-la na forma (a + b)(a - b).
Podemos utilizar a fórmula para a diferença de dois quadrados da seguinte forma:
a² - b² = (a + b)(a - b)
Onde "a" e "b" representam quaisquer expressões que são quadrados perfeitos.
Exemplo 01: A expressão 16x² - 25 é uma diferença de dois quadrados e pode ser fatorada na forma (4x + 5)(4x - 5). Note que 16x² é o quadrado perfeito de 4x e 25 é o quadrado perfeito de 5.
Exemplo 02: A expressão 9x² - 16 é uma diferença de dois quadrados e pode ser fatorada na forma (3x + 4)(3x - 4). Aqui, 9x² é o quadrado perfeito de 3x e 16 é o quadrado perfeito de 4.
Exemplo 03: A expressão 49y² - 36z² é uma diferença de dois quadrados e pode ser fatorada na forma (7y + 6z)(7y - 6z). Aqui, 49y² é o quadrado perfeito de 7y e 36z² é o quadrado perfeito de 6z.
Lista de Exercícios sobre diferença de dois quadrados
Gabarito dos exercícios propostos
Cubo Perfeito
Um cubo perfeito é um polinômio que pode ser escrito na forma de (a - b)³ ou (a + b)³. A fatoração de um cubo perfeito pode ser encontrada usando as seguintes fórmulas:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Para verificar se um polinômio é um cubo perfeito, podemos utilizar a regra da raiz cúbica:
- devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.
- Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.
Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.
Exemplo 01:
O polinômio x³ + 3x²y + 3xy² + y³ é um cubo perfeito, pois pode ser escrito como (x + y)³.
Exemplo 02:
O polinômio 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ é um cubo perfeito, pois pode ser escrito como (2x + y)³.
Exemplo 03:
O polinômio x³ – 9x² + 27x – 27 é um cubo perfeito, pois pode ser escrito como (x - 3)³.