Pontos notáveis do triângulo e propriedades

Medianas e baricentro

Num triângulo ABC, marquemos M1 , ponto médio do lado BC

Tracemos o segmento AM1:

O segmento AM1 é uma mediana do triângulo ABC.

Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são: 

• AM1 , mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A; 
• BM2 , mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B;
• CM3 , mediana relativa ao lado AB ou ao vértice C.

Na figura acima, G é o baricentro do triângulo ABC

Bissetrizes e incentro 

Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz AS1 , relativa ao ângulo A.  Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

Destaquemos o segmento AS1. 

O segmento AS1 é uma bissetriz do triângulo ABC.

Observe que:

• o segmento AS1 está contido na semirreta AS1 (bissetriz do ângulo A);
• S1 é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo A.

Um triângulo tem três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são:

• AS1 , bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A;
• BS2 , bissetriz relativa ao lado AC ou ao vértice B;
• CS3 , bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C.

Na figura acima, S é o incentro do triângulo ABC.

Alturas e ortocentro 

Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC. A reta que contém o lado BC, reta BC, é chamada de reta suporte do lado BC.

Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

Destaquemos o segmento AH1:

O segmento AH1 é uma altura do triângulo ABC.

O ponto H1 é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 também é chamado pé da altura.

Um triângulo tem três alturas. Observe:

Nas figuras acima, as três alturas são:

• AH1 , altura relativa ao lado BC ou ao vértice A; 
• BH2 , altura relativa ao lado AC ou ao vértice B;
• CH3 , altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.

Nas figuras acima, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo (quando o triângulo ABC é obtusângulo).

Mediatrizes e circuncentro 

Num triângulo ABC, tracemos a reta m1 perpen dicular ao lado BC e passando por M1 , ponto médio de BC:

A reta m1 é a mediatriz do lado BC.

Um triângulo tem três mediatrizes de lados. Na figura ao lado, as três mediatrizes são:

• m1 , mediatriz de BC;
• m2 , mediatriz de AC;
• m3 , mediatriz de AB.

Na figura acima, O é o circuncentro do triângulo ABC.

Propriedades dos triângulos isósceles

Num triângulo isósceles de base BC, traçamos a bissetriz do ângulo Aˆ e chamamos de P o ponto em que ela encontra a base BC. Depois, decompomos o triângulo ABC em dois outros: triângulo ABP e triângulo ACP.

 

 Como:

• AB ≡ AC (porque ∆ABC é isósceles de base BC);
• r  ≡  s (porque AP é bissetriz de A);
• AP é lado comum aos dois triângulos;

os triângulos ABP e ACP são congruentes pelo caso LAL

Da congruência ∆ABP ≡ ∆ACP, podemos concluir que B ≡ C

Propriedades dos triângulos equiláteros

Vamos considerar um triângulo equilátero ABC e chamar de AP e BQ duas medianas.

Como AB ≡ AC, esse triângulo é isósceles de base BC; logo: 

• B  ≡ C;
• AP é mediana, altura e bissetriz.

Como AB ≡  BC, esse triângulo também é isósceles de base AC; logo: 

• A ≡ C;
• BQ é mediana, altura e bissetriz.

Em resumo, se o triângulo ABC é equilátero e os pontos médios de seus lados são P, Q e R, então:

• A ≡  B ≡  C;
• AP, BQ e CR são medianas, alturas e bissetrizes;
• G é baricentro, ortocentro e incentro.

Também vale a recíproca: