Conjuntos Numéricos - Matemática

 

A Origem dos números

Os números nem sempre foram grafados como os conhecemos atualmente. Eles percorreram uma longa história e foram organizados pouco a pouco, ao longo de milênios, em diferentes culturas, sempre na busca de representar e manipular quantidades.

Descobertas históricas evidenciam registros com riscos em ossos e em paredes de cavernas. Registros em placas de argila foram encontrados em sítios arqueológicos do Oriente Médio, correspondendo a um período que se estende de 9 000 a 2 000 anos antes da nossa era.

Há mais de 5 000 anos, sociedades avançadas, que precisavam realizar diferentes operações econômicas e em grande quantidade, não podiam mais confiar tantos dados apenas à memória humana. Assim, acredita-se que surgiu a ideia de representar as quantidades por meio de sinais gráficos. A seguir, é possível observar os símbolos utilizados nos sistemas de numeração de algumas civilizações e os algarismos como conhecemos atualmente, chamados de indo-arábicos.

Os números podem ser organizados em diferentes conjuntos. Vamos retomar e aprofundar nossos conhecimentos sobre alguns desses conjuntos numéricos.

Números Naturais (N) 

O conjunto dos números naturais é representado pela letra ℕ

Os números naturais são ordenados: dados dois números naturais quaisquer, é sempre possível dizer se eles são iguais ou se um é menor ou maior que o outro.

O conjunto dos números naturais é infinito: para qualquer número natural, sempre podemos ter um sucessor maior que ele. O sucessor de um número natural b é o número ( b + 1 ) . Definimos também o antecessor de um número natural b, b ≠ 0 , como sendo o número ( b - 1 ). 

Números Inteiros (Z)

Os números inteiros foram negados como números até o século XVIII. Apesar de diversos matemáticos terem se deparado com números negativos em operações e até mesmo na resolução de equações, sempre que isso acontecia o problema era classificado como impossível ou absurdo.

Hoje, o uso desses números é frequente em diversas situações cotidianas, como nas relacionadas a operações financeiras ou mesmo para indicar medidas de temperaturas.

 O conjunto dos números inteiros é representado pela letra ℤ

No conjunto dos números inteiros, quanto mais afastado do zero está um número negativo, menor ele é. Qualquer número negativo é menor que o zero ou que um número positivo.

Como os números naturais, os números inteiros também são ordenados: uma vez que, dados dois números inteiros quaisquer, é sempre possível dizer se eles são iguais ou se um é menor ou maior que o outro.

Podemos destacar os seguintes subconjuntos de ℤ:

O conjunto ℤ também é infinito, pois, para qualquer número inteiro, sempre podemos obter um sucessor maior que ele. O sucessor de um número inteiro b é o número (b + 1) . Definimos também o antecessor de um número inteiro b como o número (b - 1). 

Números Racionais (Q)

A origem dos números racionais positivos é milenar. No entanto, pela ausência da escrita ou de qualquer outra forma de registro, o que sabemos é que ela surgiu por volta do ano 3000 a.C., por causa de um problema relacionado ao controle das propriedades de terras às margens do rio Nilo, no Egito.

Ao medir as terras às margens do rio Nilo, os egípcios perceberam que nem sempre o resultado da medição correspondia a um número inteiro de vezes da unidade utilizada. Assim, tendo em vista que os números inteiros eram insuficientes para exprimir as medidas desejadas, eles criaram os números fracionários.

Desde os primeiros registros que conhecemos, os números que hoje chamamos de racionais abrangem os números naturais, os números inteiros e os números fracionários positivos e negativos.

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q

Os números 

são exemplos de números racionais. Podemos escrever

Do mesmo modo,

Além disso, observe que todo número inteiro é um número racional, pois ele pode ser escrito na forma fracionária. Veja dois exemplos.

Os números racionais não nulos podem ser representados por meio de fração ou de notação decimal, com o correspondente sinal positivo ou negativo.

Uma fração, em sua origem, corresponde à divisão de um inteiro em partes iguais. Essa ideia pode ser estendida para qualquer inteiro.

Observe abaixo o inteiro representado por um quadrado de área 25 e as figuras seguintes, que representam frações desse inteiro.

A fração como resultado de uma divisão pode ser expressa em notação decimal, dividindo-se o numerador pelo denominador e obtendo-se o resultado final com um número decimal.

Agora, considere o mesmo quadrado, de área 25, visto anteriormente, mas com outras frações de sua área representadas.

O que ocorre com essas frações da área do quadrado e sua notação decimal é que, efetuando-se a divisão indicada, um algarismo, ou um grupo de algarismos, repete-se infinitamente em uma representação decimal periódica. Essas representações decimais são chamadas de dízimas periódicas, e a fração que gerou a dízima é chamada de fração geratriz. 

O período de uma dízima é o algarismo, ou o grupo de algarismos, que se repete na dízima periódica. No caso das divisões acima, temos:

Também podemos indicar o período que se repete em uma dízima usando um traço sobre o algarismo ou sobre o grupo de algarismos que se repetem.

 PROBLEMAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01 - Dizemos que uma fração é irredutível quando ela não pode ser simplificada. Com base nessa informação, obtenha a fração irredutível equivalente a cada decimal exato a seguir. 

a) 0,7 

b) 2 0182 

c) 1,95 

d) 0,02

Resolução

02 -  Obtenha a fração irredutível equivalente a cada dízima periódica. 

a) 0,232323… 

b) 3,666...

03 - Uma dízima periódica, representada na forma decimal, é chamada de composta quando, antes dos números que se repetem, aparecem algarismos que não fazem parte do período. Por exemplo, na dízima 0,2171717... 17 é o período e 2 é chamado de anteperíodo. 

Com base nessa informação, obtenha a fração irredutível equivalente a cada dízima periódica composta. 

a) 0,2171717… 

b) 0,35111…

NÚMEROS REAIS (R) 

Quando falamos em números reais, estamos abrangendo todos os números vistos até aqui, ou seja, os números reais resultam da união dos números racionais com os irracionais.

Os números reais são ordenados. Isso significa que, dados dois números reais, é sempre possível verificar se eles são iguais ou se um deles é menor ou maior que o outro.

Os números reais são também completos, o que significa que, dado um segmento de reta qualquer, existe sempre um número real que representa a medida de seu comprimento. 

Escolher uma unidade de medida para graduar a reta.

Ou seja, sempre é possível estabelecer uma correspondência entre o conjunto dos números reais e o conjunto de pontos de uma reta.

O conjunto dos números reais é representado pela letra R.

Reta real

Qualquer número real pode ser representado em uma reta, denominada reta real. Para representar um número real na reta real, devemos seguir os passos descritos abaixo.

• Escolher um ponto sobre a reta que represente o zero ou a origem
• Estabelecer dois sentidos: um positivo e um negativo
• Escolher uma unidade de medida para graduar a reta. 

Observe que cada número real corresponde a um único ponto da reta real e cada ponto da reta real corresponde a um único número real, chamado de abscissa desse ponto em r.

A correspondência entre os elementos de R e os pontos de r é denominada sistema de coordenadas.

A reta real também é chamada de eixo dos números reais ou, mais comumente, de reta numerada. O ponto O, correspondente ao número zero, é a origem desse sistema.