Princípio fundamental da contagem (PFC)

Veja como podemos resolver alguns problemas de contagem.

Exemplo 1 - Um quiosque de praia, no Rio de Janeiro, lançou a seguinte promoção durante uma temporada de verão:

Combinado de sanduíche natural e suco a R$ 20,00

Para esse combinado, há quatro opções de recheio para o sanduíche (frango, atum, vegetariano e queijo branco) e três opções de suco (laranja, uva e morango). 

De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher o seu combinado?

Solução: Em primeiro lugar, a pessoa deverá optar pelo sabor do lanche. Há quatro opções: frango (F), atum (A), vegetariano (V) e queijo branco (Q). 

Para cada uma das possibilidades anteriores, a escolha do suco pode ser feita de três maneiras possíveis: laranja (L), uva (U) ou morango (M).

A representação dessas possibilidades pode ser feita por meio de um diagrama sequencial, conhecido como diagrama da árvore de possibilidades ou, simplesmente, diagrama da árvore. Observe:

Observe que cada combinado consta de um par ordenado (x, y), em que x O {F, A, V, Q} e y O {L, U, M}. 

O número de possibilidades é 4 * 3 = 12.

Exemplo 2 - Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Quais são as sequências possíveis de faces obtidas nesses lançamentos?

Solução: Vamos representar cara por K e coroa por C. Há três etapas (lançamentos) a serem analisadas:

• O primeiro lançamento pode resultar em cara ou coroa. 
• Para cada resultado obtido na primeira vez que a moeda for lançada, o segundo lançamento poderá resultar em cara ou coroa. 
• A partir de cada um dos resultados anteriores, o terceiro lançamento pode resultar em cara ou coro

Vamos representar essas possibilidades no seguinte diagrama:

Cada sequência obtida é uma tripla ordenada (ou terna) de faces (f1 , f2 , f3 ), em que f1 ∈ {K, C}, f 2 ∈ {K, C} e f3 ∈ {K, C}. O número de sequências possíveis é 2 * 2 * 2 = 8.

Desse modo, o princípio fundamental da contagem é um conceito fundamental na teoria da probabilidade e na matemática. Ele é usado para contar o número de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer, com base nas escolhas disponíveis em cada etapa do processo. Em termos simples, o princípio fundamental da contagem afirma que se você tem "n" maneiras de fazer uma coisa e "m" maneiras de fazer outra coisa, então o número total de maneiras de fazer ambas as coisas em sequência é o produto de "n" e "m", ou seja, dadas duas ou mais situações independentes, podemos encontrar o total de combinações possíveis apenas multiplicando as diferentes opções fornecidas em cada uma.

Por exemplo, se você tem 3 opções de escolha para o café da manhã (cereal, torrada ou iogurte) e 2 opções de escolha para o almoço (sanduíche ou salada), então o número total de maneiras de escolher o café da manhã e o almoço é 3 (opções de café da manhã) * 2 (opções de almoço) = 6 maneiras diferentes.

Esse princípio é frequentemente usado para resolver problemas de contagem em que você precisa calcular o número de combinações ou arranjos possíveis de elementos em um conjunto, levando em consideração diferentes escolhas em cada etapa. É uma ferramenta importante na análise combinatória e é aplicada em uma variedade de contextos, desde estatísticas até engenharia e programação.

Exercícios:

1 - Para ir à praia, Sílvia pretende colocar um maiô e uma canga. Sabendo que ela possui cinco maiôs diferentes e três modelos diferentes de canga, determine o número de maneiras distintas de Sílvia se vestir.

A alternativa correta é

a) 12

b) 15

c) 25

d) 32

Solução

2 - Um restaurante oferece almoço a R$ 40,00, incluindo: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas formas distintas um cliente pode fazer seu pedido, se existem quatro opções de entrada, três de prato principal e duas de sobremesa?

a) 18

b) 44

c) 25

d) 24

Solução

3 - Em um teste vocacional, um jovem deve responder a doze questões, assinalando, em cada uma, uma única alternativa, escolhida entre “sim”, “não” e “às vezes”. De quantas formas distintas o teste poderá ser respondido?

A alternativa correta é:

a) 531.441 

b) 431.441 

c) 831.112 

d) 31.441

Solução

4 - Três amigos chegam um pouco atrasados para uma aula de bicicleta na academia e encontram cinco bicicletas vagas. 

De quantos modos distintos eles podem se distribuir nas bicicletas vagas?

A alternativa correta é:

a) 80

b) 70

c) 60 

d) 50

Solução

5 - Quantos números de cinco algarismos existem?

A alternativa correta é:

a) 90.000

b) 80.000

c) 60.000 

d) 50.234

Solução

6 - (Obmep) Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto? 

a) 8 

b) 16 

c) 18 

d) 20 

e) 24

Solução

7 - (Obmep) Patrícia escreveu, em ordem crescente, os inteiros positivos formados apenas por algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, .... Qual foi o 157° número que ela escreveu? 

a) 997 

b) 999 

c) 1.111 

d) 1.113 

e) 1.115

Solução