INTERVALOS REAIS

 

Intervalos limitados

Acompanhe a situação a seguir.

No dia 4 de julho de 2019, a temperatura máxima na cidade de Lages, na serra catarinense, foi 14 °C e a temperatura mínima, 22 °C. Qual foi a variação de temperatura em Lages nesse dia? Antes de continuar a leitura, tente responder a essa questão.

A variação de temperatura foi de 16 °C.

Sendo T uma temperatura registrada em um momento qualquer do dia, podemos dizer que T está dentro do intervalo de 22 °C a 14 °C e representar essa variação por 2 2 ° C ≤T ≤ 14 °C.

Observe que utilizamos a desigualdade porque não podemos enumerar todos os valores que estão entre 22 e 14, visto que são infinitos.

Na reta real, temos a seguinte representação para os valores de T:

As “bolinhas cheias” ( • ) nas extremidades da representação do intervalo na reta indicam que 22 e 14 pertencem a esse intervalo de temperaturas, o qual pode ser representado também da seguinte forma: [22, 14].

Dizemos que esse intervalo é fechado porque seus extremos 22 e 14 pertencem ao conjunto de temperaturas registradas em Lages nesse dia.

Agora, considere essa outra situação.

Observando as balanças a seguir, qual será o “peso” do gato?

Apenas com essas informações não é possível determinar o “peso” exato do gato. No entanto, podemos concluir que ele é maior que 5 kg e menor que 6 kg.

Assim, sendo P o “peso” do gato, podemos escrever que 5 < P < 6.

Representando esse intervalo na reta real, temos:

As “bolinhas vazias” ( ° ) nas extremidades da representação do intervalo na reta indicam que 5 e 6 não pertencem a esse intervalo, que também pode ser representado da seguinte forma: ]5, 6[.

Dizemos que esse intervalo é aberto porque seus extremos não pertencem ao intervalo.

Veja, a seguir, o nome dos possíveis intervalos limitados para a e b reais e a < b.

• Intervalo fechado de extremos a e b: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b]

• Intervalo aberto de extremos a e b: { x ∈ R | a < x < b } = ]a, b[

• Intervalo fechado em a e aberto em b: { x ∈ R | a ≤ x < b } = [a, b[

• Intervalo aberto em a e fechado em b: { x ∈ R | a < x ≤  b } = ]a, b]

Referimo-nos a esses intervalos da seguinte maneira:

• [a, b] é o conjunto dos valores de x, sendo x maior ou igual a a e menor ou igual a b.
• ]a, b[ é o conjunto dos valores de x, com x maior que a e menor que b.

Intervalos ilimitados

Leia a situação a seguir.

Um corpo lançado da Terra no espaço, com velocidade suficiente para escapar da órbita do nosso planeta, se não se chocar com outro corpo ou for atraído por ele, tenderá a se afastar cada vez mais da Terra. Com isso, sua distância em relação a ela aumentará indefinidamente.

Considerando o momento do lançamento desse corpo, as distâncias vão situar-se no intervalo [0, +∞[.

 De modo geral, sendo a um número real qualquer, podemos ter:

Podemos também considerar R =]+∞ ,-∞[