Definição e Propriedades Básicas do Determinante

O determinante de uma matriz é uma medida numérica especial que possui várias propriedades interessantes. Vamos explorar sua definição formal, algumas propriedades básicas e resolver um exercício para ilustrar seu uso.

Definição do Determinante: Seja $�$ uma matriz quadrada de ordem $�$, o determinante de $�$, denotado por $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$ ou $\det (�)$, é definido de forma recursiva para matrizes $2\times 2$ e $3\times 3$, e pode ser generalizado para matrizes de ordem maior utilizando a expansão por cofatores ou a regra de Laplace.

Propriedades Básicas do Determinante:

1. O determinante de uma matriz é único.
2. Trocar duas linhas ou duas colunas de uma matriz troca o sinal do determinante.
3. Multiplicar todos os elementos de uma linha ou coluna por um escalar $�$ multiplica o determinante por $�$.
4. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
5. O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais.
6. Se uma matriz tem uma linha ou coluna de zeros, então seu determinante é zero.

Fórmulas:

1. Determinante de uma matriz $2\times 2$: Seja $�=\left[\begin{array}{cc}�& �\\ �& �\end{array}\right]$, então $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=��-��$.

2. Determinante de uma matriz $3\times 3$: Seja $�=\left[\begin{array}{ccc}�& �& �\\ �& �& �\\ �& ℎ& �\end{array}\right]$, então $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=���+���+��ℎ-���-���-��ℎ$.

Exercício Resolvido: Considere a matriz $�=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 4\end{array}\right]$. Calcule seu determinante.

Solução: Usando a fórmula para o determinante de uma matriz $2\times 2$, temos: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=(2\times 4)-(1\times (-3))=8+3=11$.

Portanto, o determinante da matriz $�$ é $11$.

Cálculo do Determinante

O cálculo do determinante de uma matriz pode ser realizado de várias maneiras, dependendo do tamanho da matriz e da técnica preferida. Neste tópico, exploraremos dois métodos comuns: a regra de Sarrus para matrizes $2\times 2$ e $3\times 3$, e a expansão por cofatores para matrizes de ordem maior. Além disso, resolveremos um exercício para ilustrar o cálculo do determinante.

1. Regra de Sarrus:

Para matrizes $2\times 2$ e $3\times 3$, podemos usar a regra de Sarrus para calcular o determinante.

• Para uma matriz $2\times 2$: Seja $�=\left[\begin{array}{cc}�& �\\ �& �\end{array}\right]$, então $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=��-��$.

• Para uma matriz $3\times 3$: Seja $�=\left[\begin{array}{ccc}�& �& �\\ �& �& �\\ �& ℎ& �\end{array}\right]$, então $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=���+���+��ℎ-���-���-��ℎ$.

2. Expansão por Cofatores:

Para matrizes de ordem maior que $3\times 3$, geralmente usamos a expansão por cofatores.

Seja $�$ uma matriz $�\times �$. O determinante de $�$ pode ser calculado expandindo ao longo de qualquer linha ou coluna: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={\sum }_{�=1}^{�}(-1{)}^{�+�}{�}_{��}{�}_{��}$ ou $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={\sum }_{�=1}^{�}(-1{)}^{�+�}{�}_{��}{�}_{��}$

onde ${�}_{��}$ é o determinante da matriz $(�-1)\times (�-1)$ obtida removendo a $�$-ésima linha e a $�$-ésima coluna de $�$.

Exercício Resolvido: Considere a matriz $�=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ -2& 0& 4\\ 1& -3& 2\end{array}\right]$. Calcule seu determinante.

Solução: Usando a expansão por cofatores ao longo da primeira linha, temos: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=3\times (-1{)}^{1+1}\mid \begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 2\end{array}\mid +1\times (-1{)}^{1+2}\mid \begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 2\end{array}\mid +2\times (-1{)}^{1+3}\mid \begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& -3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=3\times (0\times 2-4\times (-3))+1\times (-2\times 2-4\times 1)+2\times (-2\times (-3)-0\times 1)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=3\times (0+12)+1\times (-4-4)+2\times (6-0)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=3\times 12+1\times (-8)+2\times 6$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=36-8+12$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=40$

Portanto, o determinante da matriz $�$ é $40$.

Propriedades Avançadas do Determinante

Além das propriedades básicas, o determinante de uma matriz possui várias propriedades avançadas que são úteis em diversas aplicações. Neste tópico, exploraremos algumas dessas propriedades e resolveremos um exercício para ilustrar seu uso.

Propriedades Avançadas do Determinante:

1. Relação com a Inversa: Se $�$ é uma matriz quadrada invertível, então o determinante de $�$ é não nulo: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$. Além disso, o determinante da inversa de $�$ é o inverso do determinante de $�$: $\mathrm{\mid }{�}^{-1}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}$.

2. Determinante de uma Matriz Triangular: O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.

3. Determinante da Transposta: O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: $\mathrm{\mid }{�}^{�}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$.

Exercício Resolvido:

Considere a matriz $�=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 2\\ -2& 1& 5\end{array}\right]$. Determine se $�$ é invertível e calcule seu determinante.

Solução:

Para determinar se $�$ é invertível, precisamos calcular seu determinante. Vamos usar a expansão por cofatores ao longo da primeira linha:

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2\times (-1{)}^{1+1}\mid \begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 5\end{array}\mid -(-1)\times (-1{)}^{1+2}\mid \begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 5\end{array}\mid +3\times (-1{)}^{1+3}\mid \begin{array}{cc}0& 4\\ -2& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2\times (4\times 5-2\times 1)-(-1)\times (0\times 5-2\times (-2))+3\times (0\times 1-4\times (-2))$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2\times (20-2)+(4-24)+3\times (0+8)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2\times 18-20+3\times 8$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=36-20+24$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=40$

Portanto, como o determinante de $�$ é não nulo ($\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=40$), a matriz $�$ é invertível.

Aplicações do Determinante

O determinante de uma matriz é uma ferramenta poderosa com uma ampla variedade de aplicações em várias áreas da matemática e além. Neste tópico, exploraremos algumas das principais aplicações do determinante e resolveremos um exercício para demonstrar seu uso.

Aplicações do Determinante:

1. Resolução de Sistemas de Equações Lineares: O determinante de uma matriz é utilizado para determinar a existência e a unicidade da solução de um sistema de equações lineares. Se o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo, o sistema tem uma única solução.

2. Aplicações Geométricas: O determinante de uma matriz $2\times 2$ pode ser utilizado para calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores linhas da matriz. Para uma matriz $3\times 3$, o determinante pode ser usado para calcular o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores linhas.

3. Teste de Independência Linear: Se o determinante de uma matriz formada pelos vetores é não nulo, então os vetores são linearmente independentes. Isso é útil em várias áreas, como álgebra linear, geometria e física.

Exercício Resolvido:

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

$2�+3�-�=5$ $�-2�+4�=-2$ $3�+2�-3�=8$

Determine se o sistema é consistente e, em caso afirmativo, encontre sua solução.

Solução:

Primeiro, escrevemos o sistema de equações na forma matricial $��=�$, onde:

$�=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -2& 4\\ 3& 2& -3\end{array}\right]$ $�=\left[\begin{array}{c}�\\ �\\ �\end{array}\right]$ $�=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 8\end{array}\right]$

Agora, podemos usar o determinante da matriz dos coeficientes $�$ para determinar se o sistema é consistente. Calculamos $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$:

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -2& 4\\ 3& 2& -3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2(-2\times -3-4\times 2)-3(1\times -3-4\times 3)-(-1)(1\times 2-3\times 3)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2(4-8)-3(-3-12)-(-1)(2-9)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=2(-4)-3(-15)-(-1)(-7)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=-8+45+7$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=44$

Como $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, o sistema é consistente e possui uma única solução. Agora, podemos encontrar a solução calculando $�={�}^{-1}�$. No entanto, como isso envolve a inversa de uma matriz, podemos deixar essa etapa para o cálculo de software ou outro método numérico.

Matriz Adjunta e Inversa

Além de determinar a existência e a unicidade da solução de sistemas de equações lineares, o determinante de uma matriz também é fundamental para o cálculo da matriz adjunta e da matriz inversa. Neste tópico, exploraremos as fórmulas para calcular a matriz adjunta e a matriz inversa de uma matriz quadrada, bem como resolveremos um exercício para demonstrar esses conceitos.

Matriz Adjunta: A matriz adjunta de uma matriz $�$, denotada por $\text{adj}(�)$ ou $\text{adj}�$, é a matriz transposta dos cofatores de $�$. Cada elemento $(�,�)$ da matriz adjunta é o cofator ${�}_{��}$ da matriz $�$, onde ${�}_{��}$ é o determinante da matriz obtida excluindo a $�$-ésima linha e a $�$-ésima coluna de $�$, multiplicado por $(-1{)}^{�+�}$.

Matriz Inversa: Se o determinante de uma matriz quadrada $�$ é não nulo ($\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$), então a matriz inversa de $�$, denotada por ${�}^{-1}$, é dada por: ${�}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}\text{adj}(�)$

Exercício Resolvido:

Considere a matriz $�=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 4\end{array}\right]$. Calcule sua matriz adjunta e sua matriz inversa, se existirem.

Solução:

Primeiro, calculamos o determinante de $�$: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=(2\times 4)-(-1\times -3)=8-3=5$

Como $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, podemos calcular a matriz adjunta de $�$. Os cofatores de $�$ são: ${�}_{11}=4,{�}_{12}=-1,{�}_{21}=-3,{�}_{22}=2$

Portanto, a matriz adjunta de $�$ é: $\text{adj}(�)={\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 2\end{array}\right]}^{�}=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 2\end{array}\right]$

Agora, podemos calcular a matriz inversa de $�$: ${�}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}\text{adj}(�)=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Portanto, a matriz inversa de $�$ é: ${�}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Determinante em Espaços de Vetores

O determinante não está limitado apenas ao contexto de matrizes, mas também é aplicável em espaços de vetores. Em particular, o determinante pode ser usado para determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente ou linearmente dependente. Neste tópico, exploraremos como o determinante é aplicado em espaços de vetores e resolveremos um exercício para ilustrar seu uso.

Determinante em Espaços de Vetores:

Dado um conjunto de $�$ vetores $\{{\mathbf{�}}_1,{\mathbf{�}}_2,\dots ,{\mathbf{�}}_{�}\}$ em um espaço vetorial $�$, podemos formar uma matriz $�$ onde as colunas são os vetores ${\mathbf{�}}_1,{\mathbf{�}}_2,\dots ,{\mathbf{�}}_{�}$. O determinante de $�$, denotado por $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$ ou $\det (�)$, nos diz se os vetores são linearmente independentes ou dependentes.

Se $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, então os vetores são linearmente independentes e formam uma base para o espaço vetorial $�$. Se $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=0$, então os vetores são linearmente dependentes e não formam uma base.

Exercício Resolvido:

Considere os seguintes vetores no espaço tridimensional: ${\mathbf{�}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{�}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{�}}_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$

Determine se esses vetores são linearmente independentes.

Solução:

Para determinar se os vetores são linearmente independentes, formamos a matriz $�$ com os vetores como colunas: $�=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 0\\ 3& 1& -1\end{array}\right]$

Agora, calculamos o determinante de $�$: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 0\\ 3& 1& -1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=1\times \mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -1\end{array}\mid -2\times \mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -1\end{array}\mid +3\times \mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=1\times (-1-0)-2\times (-2-0)+3\times (2-(-3))$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=1\times (-1)-2\times (-2)+3\times (2+3)$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=-1+4+15$

$\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=18$

Como $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, os vetores ${\mathbf{�}}_1,{\mathbf{�}}_2,{\mathbf{�}}_3$ são linearmente independentes.

Lista de exercícios abrangendo cada tópico discutido sobre determinantes, com uma variedade de problemas criativos e desafiadores:

1. 1 - Definição e Propriedades Básicas do Determinante:

   • Calcule o determinante das seguintes matrizes: $\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 1& 0& 4\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$.
   • Prove que o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal.

2. 2 - Cálculo do Determinante:

   • Calcule o determinante da matriz $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]$ usando a regra de Sarrus.
   • Encontre o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -1\\ -2& 3& 1\end{array}\right]$ por expansão por cofatores.

3. 3 - vPropriedades Avançadas do Determinante:

   • Determine se a matriz $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$ é invertível.
   • Calcule o determinante da matriz transposta da matriz $\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 2\\ 2& 3& 0\\ 1& 2& -3\end{array}\right]$.

4. 4 - Aplicações do Determinante:

   • Resolva o sistema de equações lineares: $2�-�+3�=10$ $�+�+2�=3$ $3�+2�-�=7$
   • Calcule o volume do paralelepípedo formado pelos vetores ${\mathbf{�}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, ${\mathbf{�}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{�}}_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$.

5. 5 - Matriz Adjunta e Inversa:

   • Encontre a matriz adjunta da matriz $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 4\end{array}\right]$.
   • Calcule a inversa da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\right]$, se existir.

6. 6 - Determinante em Espaços de Vetores:

• Determine se os vetores $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$ são linearmente independentes.
• Seja $\mathbf{�}$ um vetor no espaço tridimensional. Mostre que $\mathbf{�}$, $2\mathbf{�}$ e $3\mathbf{�}$ são linearmente dependentes.

Aqui está o gabarito para os exercícios propostos:

1. 1 - Definição e Propriedades Básicas do Determinante:

   • $\mid \begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 4\end{array}\mid =(3\times 4)-(2\times (-1))=12+2=14$
   • $\mid \begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 1& 0& 4\\ -2& 1& 3\end{array}\mid =5(0-4\times 1)-(-3)(1-4\times (-2))+2(1\times 1-0)=5(-4)-(-3)(13)+2=-20+39+2=21$
   • O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Por exemplo, para a matriz diagonal $\left[\begin{array}{cc}�& 0\\ 0& �\end{array}\right]$, o determinante é $�\times �$.

2. 2 - Cálculo do Determinante:

   • $\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\mid =(2\times 4)-(1\times 3)=8-3=5$
   • $\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& -1\\ -2& 3& 1\end{array}\mid =1\times \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\mid -2\times \mid \begin{array}{cc}0& -1\\ -2& 1\end{array}\mid +3\times \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\mid =1\times (1-(-3))-2\times (0-(-2))+3\times (0-(-2))=4-4+6=6$

3. 3 - Propriedades Avançadas do Determinante:

   • O determinante da matriz é $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=1\times (-1-0)-2\times (-2-0)+3\times (2+3)=-1+4+15=18$, portanto, a matriz é invertível.
   • $\mid \begin{array}{ccc}4& -1& 2\\ 2& 3& 0\\ 1& 2& -3\end{array}\mid =4\times \mid \begin{array}{cc}3& 0\\ 2& -3\end{array}\mid -(-1)\times \mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -3\end{array}\mid +2\times \mid \begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\mid =4\times (-9)-(-1)\times (-6)+2\times (4-3)=-36+6+2=-28$

4. 4 - Aplicações do Determinante:

   • A matriz dos coeficientes é invertível (determinante não nulo), portanto, o sistema tem uma única solução. A solução é $�=1,�=2,�=3$.
   • O volume do paralelepípedo formado pelos vetores é $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=18$.

5. 5 - Matriz Adjunta e Inversa:

   • A matriz adjunta de $�$ é $\text{adj}(�)=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 3\end{array}\right]$.
   • A matriz inversa de $�$ é ${�}^{-1}=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{9}& -\frac{1}{18}\\ \frac{1}{9}& \frac{1}{6}\end{array}\right]$.

6. 6 - Determinante em Espaços de Vetores:

• Os vetores $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$ são linearmente independentes.
• Se $\mathbf{�}=\left[\begin{array}{c}�\\ �\\ �\end{array}\right]$, então $2\mathbf{�}=\left[\begin{array}{c}2�\\ 2�\\ 2�\end{array}\right]$ e $3\mathbf{�}=\left[\begin{array}{c}3�\\ 3�\\ 3�\end{array}\right]$ são linearmente dependentes.

aqui está uma lista de fórmulas relacionadas aos determinantes:

1. Determinante de uma Matriz 2x2: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}�& �\\ �& �\end{array}\mid =��-��$

2. Determinante de uma Matriz 3x3 por Regra de Sarrus: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}�& �& �\\ �& �& �\\ �& ℎ& �\end{array}\mid =���+���+��ℎ-���-���-��ℎ$

3. Determinante de uma Matriz 3x3 por Expansão por Cofatores: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={�}_{11}{�}_{11}+{�}_{12}{�}_{12}+{�}_{13}{�}_{13}$ $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={�}_{11}\mid \begin{array}{cc}�& �\\ ℎ& �\end{array}\mid -{�}_{12}\mid \begin{array}{cc}�& �\\ �& �\end{array}\mid +{�}_{13}\mid \begin{array}{cc}�& �\\ �& ℎ\end{array}\mid$

4. Determinante de uma Matriz NxN por Expansão por Cofatores: $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={�}_{�1}{�}_{�1}+{�}_{�2}{�}_{�2}+\dots +{�}_{��}{�}_{��}$

5. Propriedades do Determinante:

   • $\mathrm{\mid }{�}^{�}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$
   • $\mathrm{\mid }��\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$
   • $\mathrm{\mid }��\mathrm{\mid }={�}^{�}\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$ para uma matriz $�\times �$
   • $\mathrm{\mid }{�}^{-1}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}$ se $�$ é invertível
   • Se uma matriz tem uma linha (ou coluna) de zeros, então seu determinante é zero.

6. Matriz Adjunta: A matriz adjunta de uma matriz $�$, denotada por $\text{adj}(�)$ ou $\text{adj}�$, é a matriz transposta dos cofatores de $�$.

7. Matriz Inversa: Se o determinante de uma matriz quadrada $�$ é não nulo ($\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$), então a matriz inversa de $�$, denotada por ${�}^{-1}$, é dada por: ${�}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}\text{adj}(�)$

Essas são algumas das fórmulas mais comuns relacionadas aos determinantes. Elas são fundamentais para entender a teoria e resolver problemas envolvendo determinantes de matrizes.